复习概率论，看的【猴博士爱讲课】4小时讲完《概率论与数理统计》/《概率论》/不挂科 ，因为视频不利于二次复习，所以做个详细点的听课笔记。
本地用Typora与vscode均正常，但是hexo不能很好的渲染数学公式，部署到博客上不太美观。
声明：此笔记仅作学习记录目的，本人并未通过本网站牟利，也请勿倒卖。
- 2022.07.02更新 修复landscape主题不支持数学公式的问题
- 2022.07.15更新 更新图片链接
一、事件的概率
1.无放回类题目
$$ P = \frac{c ^{条件一取}{条件一总} \times c ^{条件一取}{条件一总} \times … \times c ^{条件一取}_{条件一总}}{c^取_总} $$
$$C^m_n = \frac{n!}{m! \cdot (n-m)}$$
（1）盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，7个球摸起来一样，现无放回的摸4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？
$$P=\frac{C^2_4 \times C^2_3} {C^4_7}$$
（2）隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我捞来5只，问天亮后，发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少？
$$P=\frac{C^2_5 \times C^3_6} {C^5_{11}}=\frac{100}{231}$$
2.有放回类题目
K种颜色的球，代号分别为$A_1、A_z…A_k$
抽一次，出现的概率分别为$p_1、p_2…p_k$
求摸出各种球的个数分别为$n_1、n_z…n_k$
$$p = \frac{(n_1 + n_2 + … + n_k)!}{n_1!n_2!…n_k!}P_1^{n_1}P_2^{n_2}…P_k^{n_k}$$
（1）盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是一样的，现有放回的摸5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？
解：
2种颜色的球，代号分别为红、白
抽一次，出现的概率分别为$\frac{5}{11}、\frac{6}{11}$
求摸出各种球的个数分别为2、3
$P = \frac{(2+3)!}{2!3!}(\frac{5}{11})^2(\frac{6}{11})^3$
（2）在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。
就这样，过去了101天，抓了101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少？
解：
2种母猴儿，代号分别为美、丑
选一只，出现概率分别为$\frac{2}{5}、\frac{3}{5}$
为2种服务次数分别为50、51
$P = \frac{(50+51)!}{50!51!} (\frac{2}{5})^{50} (\frac{3}{5})^{51}$
3.需要画图的题目
（1）已知0<x<1，0<y-1，求x>y的概率是多少？
①表现已知条件
②表现待求概率的条件
③找出①②重合部分
④$P(x>y)=\frac{③}{①}$
（2）已知小明会在0点之后1点之前到教室，小刚也是，问小明比小刚晚到的概率是多少？
设小明到教室时间为x，小刚为y
已知0<x<1，0<y<1，求x>y的概率是多少？
（3）已知-1<x<1，-1<y<1，求$x^2+y^2<1$的概率是多少？
解析：
①表现已知条件
②表现待求概率的条件
③找出①②重合部分
④$P(x^2 + y^2 < 1) = \frac { ③ }{ ① }$
解：
$$S_园 = π \times 1^2 = π$$
$$S_正 = 4$$
$$P(x^2+y^2<1) = \frac{π}{4}$$
4.条件概率
$$P(B \mid A) = \frac{ P(AB) }{ P(A) }$$
事件A：掷一次骰子，朝上点数大于3
事件B：掷一次骰子，朝上点数是6
P（B|A）：掷一次骰子，已知朝上点数大于3，朝上点数是6的概率
P（AB）：掷一次骰子，朝上点数是6的概率
P（A）：掷一次骰子，朝上点数大于3的概率
（1）小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？
事件A：小明得60分以上
事件B：小明得80分以上
P（B|A）：小明得60分以上时，小明得80分以上的概率，即小明得80分以上的概率
$$P(B \mid A) = \frac{ P(AB) }{ P(A) } = \frac{ 0.8 }{ 0.85 }$$
（2）某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水的概率是多少？
事件A：今年没有发生洪水
事件B：明年发生洪水
P（BIA）：今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率
$$P(B \mid A) = \frac{ P(AB) }{ P(A) } = \frac{ 0.05 }{ 0.2 }$$
5.全概率公式
A、B…等个体均可能发生某事，则
$$P(发生某事)=P(A出现)·P(A发生某事)+P(B出现)·P(B发生某事)…$$
（1）某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。
$$P(有客车发生故障)=P(高速客车出现)·P(高速客车故障)+P(普通客车出现)·P(普通客车故障)$$
$P(有客车发生故障)=0.2·0.002+0.8·0.01=0.0084$
(2)猴博士公司有猴博士与傻孢子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻孢子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻孢子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？
$$P（抽中的员工通过考核）=P（猴博士出现）·P猴博士通过）+P（傻孢子出现）·P（傻犯子通过）$$
$P（抽中的员工通过考核）=50%·100%+50%·1%=50.5%$
（3）又到了交配的季节，主人过两天就拉你去隔壁村找母驴配种，隔壁村有三头母驴，分别是白驴、黑驴和棕驴。她仁得你宠幸的概率分别是50%、20%、30%。小白屁股大能生，她能怀上你孩子的概率是80%。小黑太瘦小，能怀孕的概率是20%。小棕中规中矩，能下息的概率是50%。那么你能喜当爹的概率是多少？
A、0% B、59% C、47%
6.贝叶斯公式
A、B…等个体均可能发生某事，则
$$P(已知有个体发生某事时，是A发生的)= \frac{ P(A出现) \cdot P(A发生某事) }{ P(发生某事) } $$
（1）某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。
$$P（已知有客车发生故障，是高速客车发生的）=\frac{0.2·0.002}{0.0084}=\frac{1}{21}$$
（2）猴博士公司有猴博士与傻孢子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻孢子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻孢子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，被抽中的员工是傻孢子的概率。
$$P(已知有员工通过考核，是傻孢子通过的)=\frac{0.5·0.1}{0.505}=\frac{1}{101}$$
二、一维随机变量
1.已知$F_X(x)$与$f_X(x)$中的一项，求另一项
$$f_X(x)=F_X{‘}(x)$$
$$F_X(x)=\int ^x _{-\infty}f_X(x)dx$$
例：设x的分布函数
$$F_X(x)=\begin{cases} 0,&x<1 \ lnx,&1 \leqslant x < e \ 1,&x \geqslant e\end{cases}$$
求X的密度函数$f_X(x)$
解：
$$f_X(x)=F_X{‘}(x)=\begin{cases}0’,&x<1 \ (lnx)’,&1 \leqslant x < e \ 1’,&x \geqslant e\end{cases}=\begin{cases}0,&x<1 \ \frac{1}{x},&1 \leqslant x < e \ 0,&x \geqslant e\end{cases}=\begin{cases}\frac{1}{x},&1 \leqslant x < e \ 0,&x 其他\end{cases}$$
例：设X的密度函数
$$f_X(x)=\begin{cases}-\frac{1}{2}x+1,&0 \leqslant x \leqslant 2 \ 0,&其他\end{cases}$$
求X的分布函数$F_X(x)$
解：
$$F_X(x) = \int^x _{- \infty} f_X(x) dx = \begin{cases} 0,&x<0 \ - \frac{x ^2}{4} + x,&0\leqslant x \leqslant 2 \ 1,&x>2 \end{cases} $$
2.已知$F_X(x)$与$f_X(x)$中的一种，求$P$
$$P(a<X<b) = F_X(b) - F_X(a) = \int^b_a f_X(x)dx ,不管P(a<X<b)中的<为<或 \leqslant，后面的部分均不变$$
例：设X的分布函数
$$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x<1 \ lnx,&1 \leqslant x < e \ 1, &e \leqslant x \end{cases} $$
，求概率$P(x^2<4)$.
解：
$P(x^2<4) $
$= P(-2 < x < 2) $
$= F_X(2) - F_X(-2) $
$= \ln 2 - 0 = \ln 2$
例：设X的密度函数
$$f_X(x) = \begin{cases} - \frac{1}{2}x + 1,&0 \leqslant x \leqslant 2 \ 0,&其他 \end{cases}$$
，求概率$P(-1<x<2)$
解：
$P(-1<x<2)$
$= \int ^2 _{-1} f_X(x)dx$
$= \int ^0 _{-1} f_X(x)dx + \int ^2 _{0} f_X(x)dx$
$= \int ^0_{-1} 0dx + \int ^2 _{0} (- \frac{1}{2} x + 1)dx$
$= 0+1 = 1$
3.$F_X(x)$或$f_X(x)$含有未知数，求未知数
$$F_X(- \infty) = 0$$
$$F_X(+ \infty) = 1$$
$$F_上(分段点) = F_下(分段点)$$
$$\int ^{+ \infty} _{- \infty} f_X(x)dx = 1$$
例1：设X的分布函数$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x \leqslant 0 \ a+be^{\lambda -x},&x>0 \end{cases} (\lambda >0)$，求a和b。
解：
由$F_X(+ \infty) = 0$得，
$a+be^{- \lambda \cdot (+\infty)}=1$
$a+be^{- \infty} = 1$
$a + \frac{b}{e^{+ \infty}} = 1$
$a=1$
由$F_上(分段点) = F_下(分段点)$得，
$F_上(0) = F_下(0)$
$0 = a + be^{- \lambda \cdot (0)}$
$0 = a + be^0$
$a+b=0$
$b=-1$
例2：设X的密度函数$f_X(x) = \begin{cases} ax+1,&0 \leqslant x \leqslant 2 \ 0,&其他 \end{cases}$，求常数a。
解：
由$\int ^{+ \infty} _{- \infty} f_X(x)dx = 1$得，
$\int ^0 _{- \infty} f_X(x)dx + \int ^2 _0 f_X(x)dx + \int ^{+ \infty} _2 f_X(x)dx = 1$
$\int ^0 _{- \infty} 0dx + \int ^2 _0 (ax+1)dx + \int ^{+ \infty} _2 0dx = 1$
$0 + 2a+2 + 0 = 1$
解得：$a=-\frac{1}{2}$
4.求分布律
从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示从中取出的最大号码，求其分布律。
解：X可能的取值为3，4，5，6
$P(X=3)=\frac{1}{20}$
$P(X=4)=\frac{3}{20}$
$P(X=5)=\frac{3}{10}$
$P(X=6)=\frac{1}{2}$
分布列为：
| X | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{20}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{2}$ |
5.已知含有未知数分布列，求未知数
已知分布列如下，求k的值。
| X | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{20}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{3}{10}$ | k |
解：$\frac{1}{20}+\frac{3}{20}+\frac{3}{10}+k=1$
解得$k=\frac{1}{2}$
三、一维随机变量的函数
1.已知X分布列，求Y分布列
已知X的分布列为
| X | -2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | 0.4 | 0.3 | 0.3 |
，求$Y=X^2+1$的分布列。
解：
①根据X的所有取值，计算Y的所有取值
$Y = (-2)^2 + 1 = 5$
$Y = 0^2 + 1 = 1$
$Y = 2^2 +1 = 5$
②将表格里X那一列对应换成Y
| Y | 5 | 1 | 5 |
|---|---|---|---|
| P | 0.4 | 0.3 | 0.3 |
整理可得，
| Y | 1 | 5 |
|---|---|---|
| P | 0.3 | 0.7 |
2.已知$F_X(x)$，求$F_Y(y)$
设X的分布函数为
$$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x\leqslant 0 \ x^2,&0<x<1 \ 1,&1 \leqslant x \end{cases}$$
，求Y=2X的分布函数。
解：
①写出X=？Y
$Y=2X$→$X = \frac{y}{2}$
②用？y替换$F_X(x)$中的x结果为$F_X(?y)$
$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x\leqslant 0 \ x^2,&0<x<1 \ 1,&1 \leqslant x \end{cases}$→$F_X(\frac{y}{2}) = \begin{cases} 0,&\frac{y}{2} \leqslant 0 \ \frac{y}{2}^2,&0 <\frac{y}{2}<1 \1,&1\leqslant \frac{y}{2} \end{cases}$
③判断$?y$中是否有负号,若无，则$F_Y(y) = F_X(?y)$,若有，则$F_Y(y)=1-F_X(?y)$
$F_Y(y) = F_X(\frac{y}{2}) = F_X(\frac{y}{2}) = \begin{cases} 0,&\frac{y}{2} \leqslant 0 \ \frac{y^2}{4},&0 <\frac{y}{2}<1 \1,&1\leqslant \frac{y}{2} \end{cases} $
设X的分布函数为
$$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x \leqslant 0 \ x^2,&0<x<1 \ 1,&1\leqslant x \end{cases}$$
，求$Y=-X$的分布函数。
解：
①写出X=？Y
$Y=-X$ → $X=-Y$
②用？y替换$F_X(x)$中的$x$结果为$F_X(?y)$
$F_X(x) = \begin{cases} 0,&x \leqslant 0 \ x^2,&0<x<1 \ 1,&1\leqslant x \end{cases}$→$F_X(-y) = \begin{cases} 0,&-y \leqslant 0 \ (-y)^2,&0<-y<1 \ 1,&1\leqslant -y \end{cases}$
③判断$?y$中是否有负号,若无，则$F_Y(y) = F_X(?y)$,若有，则$F_Y(y)=1-F_X(?y)$
$F_Y(y) = 1-F_X(-y) = \begin{cases} 1,&-y \leqslant 0 \ 1-y^2,&0<-y<1 \ 0,&1 \leqslant -y \end{cases}$
3.已知$f_X(x)$，求$f_Y(y)$
设X的密度函数为$f_X(x)=\begin{cases} 1,&0<x<1 \ 0,&其他 \end{cases}$，求$Y=2X$的密度函数。
解：
①写出X=？Y
$Y=2X$ →$X=\frac{Y}{2}$
②用$?y$替换$f_X(x)$中的$x$，结果为$f_X(?y)$
$f_X(x)=\begin{cases} 1,&0<x<1 \ 0,&其他 \end{cases}$→$f_X(\frac{y}{2})=\begin{cases} 1,&0<\frac{y}{2}<1 \ 0,&其他 \end{cases}$
③令$f_Y=(?y)’ \cdot f_X(?y)$
$f_Y=(\frac{y}{2})’ \cdot f_X(\frac{y}{2})=\frac{1}{2} \cdot f_X(\frac{y}{2})=\begin{cases} \frac{1}{2},&0<y<2 \ 0,&其他 \end{cases}$
④判断$?y$中是否有负号$\begin{cases}若无,&则f_Y=f_Y \ 若有,&则f_Y(y)=-f_Y \end{cases}$
$f_Y(y)=f_Y=\begin{cases} \frac{1}{2},&0<y<2 \ 0,&其他 \end{cases}$
四、常见的五种分布
1.符合均匀长度，求概率
$$P=\frac{满足要求长度}{总长度}$$
设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3 的概率。
总长度：3
大于3的长度：2
$P(X的取值大于3)=\frac{2}{3}$
2.符合泊松分布，求概率
$$P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}$$
某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布，求在一分钟内呼叫次数为2次的概率。
解：X表示一分钟接到呼叫的次数
$P(X=2)=\frac{5^2}{2!}e^{-5} = 0.0842$
3.符合二项分布，求概率
$$P(X=x)=C^x_np^x(1-p)^{n-x}$$
重复投5次硬币，求正面朝上次数为3次的概率。
解：x=3,n=5，p(正面朝上)=$\frac{1}{2}$
$P(x=3)=C^3_5(\frac{1}{2}^3)(1-\frac{1}{2})^{5-3} = \frac{5}{16}$
在2红1绿三个球中有放回地摸3次，求摸到红球次数为2次的概率。
解：x=2,n=3,P(摸到红球)=$\frac{2}{3}$
$P(x=2)=C^2_3(\frac{2}{3})^2(1-\frac{2}{3})^{3-2}=\frac{4}{9}$
4.符合指数分布，求概率
$$f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x>0 \ 0,&x\leqslant 0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} P(a_1 < x < a_2) =\int^{a_2}_{a_1} f(x)dx \ P(X<a)=\int^a_{-\infty} f(x)dx \P(x>a)=\int^{+ \infty}_a f(x)dx \end{cases}$$
某种电子元件的使用寿命x（单位：小时）服从$\lambda = \frac{1}{2000}$的指数分布。
求：（1）一个元件能正常使用1000小时以上的概率；
（2）一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。
解：X的密度函数为$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2000}e^{-\frac{x}{2000}},&x>0 \0,&x \leqslant 0 \end{cases}$
(1)$P(X>1000)=\int^{+ \infty}{1000}f(x)dx=\int^{+ \infty}{1000} \frac{1}{2000}e^{-\frac{x}{2000}}dx=e^{-0.5}$
(2)$P(1000<X<2000)=\int^{2000}{1000} f(x)dx=\int^{2000}{1000} \frac{1}{2000}e^{\frac{x}{2000}} dx=-e^{-1}+e^{0.5}$
5.符合正态分布，求概率
$$\begin{cases} P(a<X<b)=\phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) \ P(X<a) = \phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) \ P(X>b) = 1-\phi(\frac{b-\mu}{\sigma}) \end{cases}$$
设随机变量X服从正态分布N（1.5，4），求：（1）P（1.5<x<3.5）；（2）P（X<3.5）。
[其中：$\phi（0）=0.5，\phi（0.75）=0.7734，\phi（1）=0.8413，\phi（2.25）=0.9878$]
解：$\mu=1.5,\sigma=\sqrt{4}=2$
(1)$P(1.5<X<3.5)=\phi(\frac{3.5-1.5}{2}-\phi \frac{1.5-1.5}{2})=\phi(1)-\phi(0)=0.3413$
(2)$P(X<3.5)=\phi(\frac{3.5-1.5}{2})=\phi(1)=0.8413$
6.正态分布图像
符号：$N(\mu,\sigma ^2)$
①图像关于u对称
②面积表示概率，总面积为1
③o越小，图像越陡
五、离散型二维变量与连续性二维变量（上）
1.已知二维离散型分布律，求？？？
已知二维随机变量X，Y的分布律如下表
| X\Y | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
| 1 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
求：
（1）P（X=0），P（Y=2）
（2）P（X<1，Y≤2）
（3）P（X+Y=2）
（4）X，Y的分布律
（5）Z=X+Y的分布律
解：
(1)P（X=0）=0.2+0.1+0.1=0.4
P（Y=2）=0.1+0.2=0.3
(2)P（X<1，Y≤2）=0.2+0.1=0.3
(3)P（X+Y=2）=0.1+0.3=0.4
(4)
| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P | 0.4 | 0.6 |
| Y | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| P | 0.5 | 0.3 | 0.2 |
(5)
P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2
P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4
P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3
P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1
| Z | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| P | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 |
2.已知二维离散型分布律，判断独立性
如果任意$x_i$，$y_i$均满足P（X=$x_i$，Y=$y_i$）=$P（X=x_i）\cdot P（Y=y_i）$
那么X、Y相互独立，否则X、Y不相互独立
1.已知二维随机变量X、Y的分布律如下,请判断X、Y的独立性
| X\Y | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
| 1 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
解：
P(X=0,Y=3)=0.1
P(X=0)·P(Y=3)=0.4*0.2=0.08
P(X=0,Y=3) $\neq$ P(X=0)·P(Y=3)
$\therefore$X、Y不相互独立
2.已知二维随机变量X、Y的分布律如下,X、Y是相互独立的，求a、β的值
| X\Y | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{18}$ |
| 2 | $\frac{1}{3}$ | $\alpha$ | $\beta$ |
P(X=1,Y=2)=P(X=1)-P(Y=2)
$\frac{1}{9}=\frac{1}{3} \times (\frac{1}{9}+\alpha) \to \alpha=\frac{2}{9}$
P(X=1,Y=3)=P(X=1)·P(Y=3)
$\frac{1}{18}=\frac{1}{3} \times (\frac{1}{18} + \beta) \to \beta=\frac{1}{9}$
$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}+\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=1$
3.已知$F(x,y)$，求$f(x,y)$
$$f(x,y)=\frac{\partial ^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}$$
已知二维随机变量的联合分布函数
$F(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{2} x^2y+\frac{1}{2}xy^2 &0<x<1,0<y<1 \ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2 &1\leqslant x,0<y<1 \ \frac{1}{2} x^2 +\frac{1}{2}x &0<x<1,1 \leqslant y \1 &1\leqslant x,1\leqslant y \0 &其他 \end{cases}$，求f(x,y)
解：
①当$0<x<1,0<y<1$时，$f(x,y)=\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2)} {\partial x }]}{\partial y }=\frac{\partial(xy+\frac{1}{2}y^2)}{\partial y }=x+y$
②当$1\leqslant x,0<y<1$时，
$f(x,y)=\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2)} {\partial x }]}{\partial y }=\frac{\partial 0}{\partial y}=0$
③当$0<x<1,y>1$时，
$f(x,y)=\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial ^2(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x)} {\partial x }]}{\partial y }=\frac{\partial (x+\frac{1}{2})}{\partial y }=0$
④当$1\leqslant x,1\leqslant y$时，
$f(x,y)=\frac{a^2(1)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial(1)}{\partial x}]}{\partial y}=\frac{\partial (0)}{\partial y}=0$
⑤当x、y属于其他情况时，
$f(x,y)=\frac{\partial ^2 (0)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial[\frac{\partial (0)}{\partial x}]}{\partial y}=\frac{\partial(0)}{\partial y}=0$
综上所述，
$f(x,y)=\begin{cases} x+y &0<x<1,0<y<1 \ 0 &其他 \end{cases}$
4.已知$f(x,y)$，求$F(x,y)$
(1)已知二维随机变量的联合密度函数
$f(x,y)=\begin{cases} \frac{21}{4}x^2y,&x^2 \leqslant y \leqslant 1 \ 0,&其他 \end{cases}$，求$F(x,y)$
解：
第一步：找出f（x,y）不等于零时x的范围和y的范围
x的范围：$x^2 \leqslant y \to -\sqrt{y} \leqslant x \leqslant \sqrt{y}$
y的范围：$x^2 \leqslant y \leqslant 1$
第二步：计算$\int ^x {g_1(y)}du \int ^y{h_1(u) }f(u,v) dv$，结果记为①
$g_1(y)$为x的左边界
$h_1(u)$为将y的下边界中的x替换为u后的式子
$f(u,v)$为将$f(x,y)$中的x替换为u、y替换为v后的式子
$g_1(y) = - \sqrt{y}$，$h_1(u) = u^2$，$f(u,v) = \frac{21}{4} u^2 v$
$① = \int ^x {- \sqrt{y}}du \int ^y{u^2} \frac{21}{4} u^2 v dv =\frac{7}{8}x^3y^2 -\frac{3}{8}x^7 +\frac{1}{2}y^{\frac{7}{2}}$
第三步：将$x=g_2(y)$、$y=h_2(x)$分别代入①中，结果分别记为②、③
$g_2(y)$为x的右边界
$h_2(x)$为y的上边界
$g_2(y) = \sqrt{y}$
将$x = \sqrt{y}$代入①中，则
$② = \frac{7}{8}(\sqrt{y})^3y^2 - \frac{3}{8}(\sqrt{y})^7 + \frac{1}{2}y^{\frac{7}{2}}$
$②=y^{\frac{7}{2}}$
$h_2(x)=1$
将$y=1$代入①中，则
$③ = \frac{7}{8}x^3 \cdot 1^2 - \frac{3}{8}x^7 + \frac{1}{2} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$
$③ = \frac{7}{8}x^3 - \frac{3}{8}x^7 + \frac{1}{2} $
第四步：画出f（x,y）不等于零的区域，记为区域A
A右侧的区域记为B
A上侧的区域记为C
A右上方的区域记为D
则$F(x,y)=\begin{cases}①&A区域 \ ② &B区域 \③&C区域 \ 1 & D区域 \0 & 其他 \end{cases}$
$F(x,y)=\begin{cases} \frac{7}{8}x^3y^2 -\frac{3}{8}x^7 +\frac{1}{2}y^{\frac{7}{2}}&x^2 \leqslant y \leqslant 1 \ y^{\frac{7}{2}} &x> \sqrt{y} ,0 \leqslant y \leqslant 1 \ \frac{7}{8}x^3 -\frac{3}{8}x^7 +\frac{1}{2}&-1 \leqslant x \leqslant 1,y>1 \ 1 & x>1,y>1 \0 & 其他 \end{cases}$
(2)已知二维随机变量的联合密度函数
$f(x,y) = \begin{cases} x+y &0<x<1,0<y<1 \0&其他 \end{cases}$，求$F(x,y)$
x的范围：0<x<1，y的范围：0<y<1
$ g_1(y)=0，h_1(u)=0，f(u,v)=u+v$
$①=\int ^x {0}du \int ^y{0 }(u+v) dv=\frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2$
$g_2(y)=1$
将$x=1$代入①中，则
$②=\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot y + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot y^2$
$②=\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} y^2$
$h_2(x)=1$
将$y=1$代入①中，则
$③=\frac{1}{2} x^2 \cdot 1 + \frac{1}{2} x \cdot 1^2$
$③=\frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2} x $
$F(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2&0<x<1,0<y<1 \ \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} y^2 &1 \leqslant x,0<y<1 \ \frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{2} x&0<x<1,1 \leqslant y \ 1 & 1 \leqslant x,1 \leqslant y \0 & 其他 \end{cases}$
5.已知$F(x,y)求P$
$$P(X \leqslant x_0,Y \leqslant y_0)=F(x_0,y_0)$$
已知二维随机变量的联合分布函数$F(x,y) =\begin{cases} \frac{1}{2}x^2y+\frac{1}{2}xy^2 &0<x<1,0<y<1 \\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2 &1 \leqslant x,0<y<1 \\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x &0<x<1,1 \leqslant y \1 & 1 \leqslant x,1 \leqslant y \0&其他\end{cases}$
(1)求$P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})$
解：
$F(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^2=\frac{1}{8}$
$\therefore P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})=\frac{1}{8}$
(2)求$P(X \leqslant \frac{1}{2},Y >\frac{1}{2})$
$\because P(X \leqslant \frac{1}{2})=P(X \leqslant \frac{1}{2},Y >\frac{1}{2})+P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})$
$\therefore P(X \leqslant \frac{1}{2},Y >\frac{1}{2})=P(X \leqslant \frac{1}{2}) - P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})=P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant +\infty) - P(X \leqslant \frac{1}{2},Y \leqslant \frac{1}{2})=F(\frac{1}{2},\infty)-F(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{3}{8}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$
6.已知$f(x,y)$求P
已知二维随机变量的联合密度函数$f(x,y)=\begin{cases}6xy&0 \leqslant x \leqslant 1,x^2 \leqslant y \leqslant 1 \ 0,其他 \end{cases}$，求$P(X \ge Y)$
第一步：找出f（xy）不等于零时x的范围和y的范围
x的范围：0≤x≤1
y的范围：$x^2 \leqslant y \leqslant 1$
第二步：找出要求概率的范围，添到上一步的范围里（要保证至少有一个未知数的上下限都是纯数字）
$P（X \ge Y）→P（Y \leqslant X）$
x的范围：0≤x≤1,$(0 \to a,1 \to b$
y的范图：$\begin{cases} x^2 \le y \le 1\\ y \le x \end{cases} \to x^2 \le y \le x,(x^2 \to c,x \to d)$
第三步：如果x的上下限都是纯数字则$P=\int ^b _a dx \int ^d _c f(x,y)dy$，如果y的上下限都是纯数字则$P=\int ^d _c dy \int ^b _a f(x,y)dx$
$P(X \ge Y) = \int ^1_0 dx int ^x _{x^2} 6xy dy =\frac{1}{4}$
7.求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数
$$F(+\infty,-\infty)=1$$
$$F(-\infty,-\infty)=0$$
$$F(x,-\infty)=0$$
$$F(-\infty,y)=0$$
$$\int ^{+\infty} _{-\infty} \int ^{+\infty} _{-\infty} f(x,y)dxdy=1$$
(1)设二维随机变量的联合分布函数为F(x,y)=a(b+arctanx)(c+arctan2y),求a、b、c
解：
解得：$a=\frac{1}{\pi ^2},b=\frac{\pi}{2},c=\frac{\pi}{2}$
(2)设二维随机变量的联合密度函数$f(x,y)=\begin{cases}kxy &0 \le x \le 1,x^2 \le y \le 1 \ 0&其他 \end{cases}$，求k
解：由$\int ^{+\infty} _{-\infty} \int ^{+\infty} _{-\infty} f(x,y)dxdy=1$得：
$\int ^1_0 \int ^1 _{x^2} kxydxdy=1$
解得：k=6
8.求均匀分布的f(x,y)与P
$$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{A} &当(x,y)\in D(A为区域D的面积) \ 0 &其他 \end{cases}$$
设二维随机变量（x，y）在区域$D={（x，y）lx≥0，y≥0，x+y≤1}$上服从均匀分布求密度函数$f(x,y),P(X+Y \le \frac{1}{2})$
$A=\frac{1}{2} \times 1 \times 1= \frac{1}{2}$
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{\frac{1}{2}} &当(x,y)\in D \ 0 &其他 \end{cases} \to \begin{cases}2&当(x,y)\in D \ 0 &其他 \end{cases}$
$A_1=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$P(X+Y \le \frac{1}{2})=\frac{A_1}{A}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$
六、连续型二维变量（下）
$$F_X(x)=F(x, + \infty)$$
$$F_Y(y)=F(+ \infty,y)$$
1.求边缘分布函数
设随机变量（X，Y）的分布函数为$F(x,y)=\frac{1}{\pi ^2}(\frac{\pi}{2} + \arctan x)(\frac{\pi}{2} + \arctan 2y)$，求边缘分布函数$F_X(x),F_Y(y)$
$F_X(x)=F(x, + \infty)=\frac{1}{\pi ^2}(\frac{\pi}{2} + \arctan x)(\frac{\pi}{2} + \arctan (+ \infty))=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \arctan x$
$F_Y(y)=F(+ \infty,y)=\frac{1}{\pi ^2}(\frac{\pi}{2} + \arctan (+ \infty))(\frac{\pi}{2} + \arctan 2y)$
2.求边缘密度函数
设二维随机变量的联合密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}6xy &0\le x \le 1,x^2 \le y \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $
解：
第一步：将f（x，y）非零的区域画在坐标系上
第二步：表示出左边界$x=g_1（y）$、右边界$x=g_2（y）$、上边界$y=h_1（x）$、下边界$y=h_2（x）$
$x=0$
$x=\sqrt{y}$
$y=1$
$y=x^2$
第三步：$f_X(x) = \int ^{h_1(x)} _{h_2(x)} f(x,y) dy,f_Y(y) = \int ^{g_2(y)} _{g_1(y)} f(x,y) dx$
$f_X(x) = \int ^1 _{x^2} 6xy dy = 3x-3x^5$
$f_Y(y) = \int ^{\sqrt{y}} _{0} 6xy dx = 3y^2$
$\therefore $
$f_X(x)=\begin{cases} 3x-3x^5 &0\le x \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $
$f_Y(y)=\begin{cases}3y^2 &0\le y \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $
3.判断连续型二维变量的独立性
$$F(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)（X、Y相互独立）$$
$$F(x,y) \neq =F_X(x) \cdot F_Y(y)（X、Y相互不独立）$$
$$f(x,y)=f_X(x) \cdot f_Y(y)（X、Y相互独立）$$
$$f(x,y) \neq =f_X(x) \cdot f_Y(y)（X、Y相互不独立）$$
设二维随机变量的联合密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}6xy &0\le x \le 1,x^2 \le y \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $，判断$f(x,y)$的独立性
$f_X(x)=\begin{cases} 3x-3x^5 &0\le x \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $
$f_Y(y)=\begin{cases}3y^2 &0\le y \le 1 \ 0 &其他 \end{cases} $
$f_X(x) \cdot f_Y(y) = (3x-3x^5) \cdot 3y^2=9xy^2-9x^5y^2 \neq f(x,y)$
$\therefore X、Y相互不独立$
4.已知$f(x,y),Z=X+Y$,求$f_Z(z)$
$$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} f(x,z-x)dx$$
设二维随机变量（X，Y）的密度函数为$f(x,y) = \begin{cases} 2-x-y &0< x<1,0< y<1 \ 0 &其他 \end{cases} $，求Z=X+Y的密度函数$f_Z(z)$
解：
$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} f(x,z-x)dx$
$f(x,y) = \begin{cases} 2-z &0< x<1,z-1< x<z \ 0 &其他 \end{cases} $
当$z \le 0$时，$f(x,z-x)=0$
$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} f(x,z-x)dx = f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} 0dx = 0$
当$0< z \le 1$时，$f(x,x-z)=\begin{cases} 2-z &0<x<z \ 0 &其他 \end{cases} $
$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} f(x,z-x)dx = \int ^z _0 (2-z)dx = z(2-z)$
当$1 \le z \le 2$时，$f(x,z-x) = \begin{cases} 2-z & z-1< x <1 \ 0 &其他 \end{cases} $
$f_Z(z)=\int ^{1} _{z-1} (2-x)dx = (2-z)^2$
当$z>2$时，$f(x,z-x)=0$
$f_Z(z)=\int ^{+ \infty} _{- \infty} 0dx =0$
综上所述，
$f_Z(z)= \begin{cases} z(2-z) & 0< z \le 1 \ (2-z)^2 &1 < z \le 2 \ 0 &其他 \end{cases} $
5.已知$f(x,y),Z=\frac{X}{Y}$,求$f_Z(z)$
$$f_Z(z)= \int ^{+ \infty} _{- \infty} f(yz,y) \cdot |y|dy$$
$f_Z(z)=\begin{cases} 0 &z \le 0 \ \frac{1}{2} &0< z \le 1 \ \frac{1}{2x^2} &z >1 \end{cases} $
6.已知$f(x,y)$，且$X,Y$相互独立，$Z=max(X,Y)$，求$F_Z(z)$
$$F_Z(z) = F_X(z) \cdot F_Y(z)$$
设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为$x^3+2x$，求Z=max（X，Y）的分布函数。
$F_X(x)=x^3+2x$
$\therefore F_X(z)=z^3+2z$
$\because X,Y同分布$
$\therefore F_Y(y)=y^3+2y$
$\therefore F_Y(z)=z^3+2z$
$\therefore F_Z(z)=F_X(z) \cdot F_Y(z)=(z^3+2z) \cdot (z^3+2z)$
7.已知f(x,y),且X，Y相互独立，z=min(X,Y)，求$F_Z(z)$
设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为$x^3+2x$，求Z=min（X，Y）的分布函数。
$F_X(x)=x^3+2x$
$\therefore F_X(z)=z^3+2z$
$\because X,Y同分布$
$\therefore F_Y(y)=y^3+2y$
$\therefore F_Y(z)=z^3+2z$
$\therefore F_Z(z)=1-[1-(z^3+2z)] \cdot [1-(z^3+2z)]$
七、随机变量的数字特征（上）
1.求离散型的期望E(X)
$$E(X)=\sum x_i p_i$$
已知一个工厂一周获利10万元的概率为0.2，获利5万元的概率为0.3，亏损2万元的概率为0.5，该工厂一周内利润的期望是多少？
| X | 10 | 5 | -2 |
|---|---|---|---|
| P | 0.2 | 0.3 | 0.5 |
E(X)=$\sum x_i p_i$=10×0.2+5×0.3+（-2）×0.5=2.5（万元）
2.求连续型的期望E(X)
$$E(X) = \int ^{+ \infty} _{-\infty} xf(x)dx$$
设随机变量X的密度函数为$f(x)=\begin{cases} 0 & x < 0 \ 4x^3 &0 \le x le 1 \ 0 & x> 1 \end{cases} $，则E(X)=？
$E(X) = \int ^{+ \infty} _{-\infty} xf(x)dx= \int ^{0} _{-\infty} x \cdot 0dx + \int ^{1} _{0} x\cdot 4x^3 dx + \int ^{+ \infty} _{1} x \cdot 0dx=0+\frac{4}{5}+0=\frac{4}{5}$
3.已知Y=g(x),求E(Y)
$$离散型E(Y)=\sum g(x_i)p_i$$
$$连续型E(Y)=\int ^{+\infty} _{- \infty} g(x) \cdot f(x) dx$$
(1)已知随机变量X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
求Y=2X-1的期望
解：
$E(Y)=\sum g(x_i)p_i=\sum (2x_i - 1) p_i=3$
(2)设随机变量X的密度函数为$f(x) = \begin{cases}0 &x<0 \ 4x^3 &0 \le x \le 1 \ 0 & x>1 \end{cases} $，$Y=X^2$，求E(Y)
$E(Y)=\int ^{+\infty} _{- \infty} g(x) \cdot f(x) dx =\int ^{+\infty} _{- \infty} x^2 \cdot f(x) dx = \int ^{0} _{- \infty} x^2 \cdot 0 dx + \int ^{1} _{0} x^2 \cdot 4x^3 dx + \int ^{+\infty} _{1} x^2 \cdot 0 dx = 0+\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}$
4.求方差D(X)
$$D(X)=\sum [x_i - E(X)] ^2 \cdot p_i \to 离散型$$
$$D(X)=E(X^2) - E^2(X) \to 连续型 \ 离散型$$
(1)已知随机变量X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
求D(X)
解：
方法一：
E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2
$D(X) = \sum [x_i - E(X)] ^2 \cdot p_i=(0-2)^2·0.1+(1-2)^2·0.2+(2-2)^2.0.3+(3-2)^2·0.4=1$
方法二：
| $X^2$ | 0 | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| P | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
$E(X^2)$=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4=5
E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2
$D(X)=E(X^2) - E^2(X)=5-2^2=1$
(2)设随机变量X的密度函数为$f(x) = \begin{cases}0 &x<0 \ 4x^3 &0 \le x \le 1 \ 0 & x>1 \end{cases} $，$Y=X^2$，求D(X)
$D(X)=E(X^2) - E^2(X)=\frac{2}{3}-(\frac{4}{5})^2 = \frac{2}{75} $
5.根据E（X）、D（X）的性质进行复杂运算
6.E（X）、D（X）与各种分布的综合题
八、随机变量的数字特征（下）与中心极限定理
1.Cov,$\rho _{xy}$,D相关类题目
已知A=2X+Y，B=2X-Y，X与Y相互独立，D（X）=D（Y）=1，试求Cov（A，B）。
Cov(A,B)=Cov(2X+Y,2X-Y)
=Cov(2X,2X-Y)+Cov(Y,2X-Y)
=Cov(2X,2X)-Cov(2X,Y)+Cov(Y,2X)-Cov(Y,Y)
=4Cov(X,X)-2Cov(X,Y)+2Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)
=4Cov(X,X)-0+0-Cov(YY)
=4D(X)-0+0-D(Y)
=4-1=3
已知D（X）=1，D（Y）=4，$\rho_{xy}=-0.5$，试求D(X+Y)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
=1+4+2Cov(X,Y)
=5+2Cov(X,Y)
=5+2$\cdot \rho _{xy} \cdot \sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}$
=5+2$\cdot (-0.5) \cdot \sqrt{1} \cdot \sqrt{4}
=3
2.利用切比雪夫不等式求概率
$$P[|X-E(X)| \ge \varepsilon ] \le \frac{D(X)}{\varepsilon ^2} (\varepsilon为任意正数)$$
3.多项独立同分布，求总和怎样的概率
(1)某商店出售一种商品，该商品周销量的期望是1，方差是1，假设各周的销量是相互独立的，求该商品的年销量（1年=52周）在50件到70件之间的概率。（结果用$\phi (X)$表示）
共52项（n=52），总销量为Y
E（X）=1，D（X）=1
$\therefore P(50 \le Y \le)=\phi (\frac{70-52 \times 1}{\sqrt{52 \times 1}})-\phi (\frac{52-52 \times 1}{\sqrt{52 \times 1}}) = \phi (2.5)-\phi (-0.28)$
(2)一个工厂每箱产品的质量独立同分布，假设每箱平均重50kg，标准差为5kg。若用最大载重量5000kg的汽车承运，那么每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977？（$\phi$（2）=0.977）
九、矩估计
1.求某一未知参数的距估计
①写出E（X）与待求未知数的关系
②将①的结果整理成未知数=？E（X）的形式
③根据给出的样本，算出实际的E（X）
④求出未知数
例1：设一大批产品的合格率是P，每次从中随机抽取出10件进行检验，用xi表示第i次抽出的10件产品中次品的个数，则可以认为x1，X2..…，xn独立同分布，总体分布是二项分布B（10，P），求P的矩估计。
解：
①E(X)=nP=10P
②E(X)=nP $\to P=\frac{E(X)}{10}$
③E(X)=$\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}$
④$\widehat{P}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{10n}$
例2：设x1，X2…，Xn为总体的一个样本，X1，X2.…，Xn为相应的样本值，求下述总体的概率密度中的未知参数的矩估计。
2.求两个未知参数的矩估计
①写出E（X）与$E（X^2）=D（X）+E^2（X）$同待求未知数的关系
②将①的结果整理成未知数$=？E(X)+?E（X^2）$的形式
③根据给出的样本，算出实际的E(X）与$E（X^2）$
④求出未知数
例：设总体X在[a，b]上服从均匀分布，a，b未知，X1，X2…，Xn是来自x的样本，试求a，b的矩估计量。
十、最大似然估计量
1.求出某离散型参数的最大似然估计量
①写出$P{X=X_1}，P{X=x_2}.…，P{X=Xn}$
②依次对①的结果取In
③依次对②的结果求导
④令③中结果之和为0，求出未知数
| 离散型分布 | P |
|---|---|
| 二项分布B(n,P) | $P(X=d)=C^d_n(1-P)^{n-d}$ |
| 泊松分布$P(\lambda)$ | $P(X=d)=\frac{\lambda ^d}{d!}e^{-\lambda}$ |
例1：设X具有分布律
| X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| $P_K$ | $\theta ^2$ | $2\theta (1-\theta)$ | $(1-\theta)^2$ |
其中$\theta（0<\theta<1）$为未知参数，已知取得了样本值X1=1，x2=2，x3=1，求$\theta$的最大似然估计值。
2.求出某连续型参数的最大似然估计量
①写出f（X1），f（X2）..…，f（xn）
②依次对①的结果取ln
③依次对②的结果求导
④令③中结果之和为0，求出未知数
| 连续型分布 | f(x) |
|---|---|
| 均匀分布 | $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a\le x \le b \ 0 &其他 \end{cases} $ |
| 指数分布 | $f(x)=\begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} \ 0 &x \le 0 \end{cases}$ |
| 正态分布 | $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} e ^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}$ |
十一、区间估计
十二、假设检验1
判断单项参数与某数值关系
十三、假设检验2
判断两项参数间的关系
十四、假设检验3
1.对于成对数据的检验
2.P值检验
十五、方差分析
十六、一元线性回归
1.求一元线性回归模型系数
2.对一元线性回归模型的方差进行估计
3.在一元线性回归模型中检验回归效果显著性
4.在一元线性回归模型中求系数b的置信区间
5.Y约为x的指数函数时，求Y关于x的回归方程
